Составьте уравнение окружности. Уравнение окружности и прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору
Определение 1 . Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
O → x
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины .
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат , не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату , которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA 1 и AA 2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A 1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A 2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y ) или A = (x ; y ).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти (квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2)
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.
В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.
Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.
Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.
Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.
Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.
Если координаты центра (а;b) , а координаты любой точки окружности (х; у) , то уравнение окружности имеет вид:
Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.
Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:
Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у , определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Примеры решения задач про уравнение окружности
Задача. Составить уравнение заданной окружности
Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.Решение
.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R
2 = (x-a
) 2 + (y-b
) 2
Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R
= 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a
= 2
b
= -3
Получаем:
(x - 2
) 2 + (y - (-3
)) 2 = 4
2
или
(x - 2
) 2 + (y + 3
) 2 = 16
.
Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .Решение
.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.
В уравнение (x
- 2) 2 + (y
+ 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3
Проверим истинность полученного равенства
(x
- 2) 2 + (y
+ 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно
Таким образом, заданная точка не принадлежит
заданному уравнению окружности.
Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.
Оборудование : интерактивная доска.
План урока:
- Организационный момент – 3 мин.
- Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
- Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
- Закрепление изученного материала– 20 мин.
- Итог урока – 5 мин.
Ход урока
2. Повторение:
− (Приложение1 Слайд 2 ) записать формулу нахождения координат середины отрезка;
− (Слайд 3) З аписать формулу расстояние между точками (длины отрезка).
3. Объяснение нового материала.
(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а ;b ) и с центром в начале координат.
(х – а ) 2 + (у – b ) 2 = R 2 − уравнение окружности с центром С (а ;b ) , радиусом R , х и у – координаты произвольной точки окружности.
х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.
(Слайд 7)
Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:
- знать координаты центра;
- знать длину радиуса;
- подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.
4. Решение задач.
В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.
(Слайд 14)
№ 7. Заполнить таблицу.
(Слайд 15)
№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:
а) (х
– 5) 2 + (у
+ 3) 2 = 36;
б
) (х
+ 1) 2 + (у
– 7) 2 = 7 2 .
(Слайд 16)
№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.
Дано: | Решение: | ||
R | Координаты центра | ||
1 | А
(0 ; -6) В (0 ; 2) |
АВ
2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8 . |
А
(0; -6) В (0 ; 2) С (0 ; – 2) – центр |
2 | А
(-2 ; 0) В (4 ; 0) |
АВ
2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6. |
А
(-2;0) В (4 ;0) С (1 ; 0) – центр |
(Слайд 17)
№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К (-12;5).
Решение.
R 2 = ОК
2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R =
13;
Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.
(Слайд 18)
№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С (3; - 1).
Решение.
R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Уравнение окружности: (х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.
(Слайд 19)
№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А (3;2), проходящей через В (7;5).
Решение.
1. Центр окружности – А
(3;2);
2. R
= АВ
;
АВ
2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ
= 5;
3. Уравнение окружности (х
– 3) 2 + (у
− 2) 2
= 25.
(Слайд 20)
№ 13. Проверьте, лежат ли точки А (1; -1), В (0;8), С (-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
Решение.
I . Подставим координаты точки А (1; -1) в уравнение окружности:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А
(1; -1) не лежит
на
окружности, заданной уравнением (х
+ 3) 2 +
(у
−
4) 2 =
25.
II . Подставим координаты точки В (0;8) в уравнение окружности:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
В
(0;8) лежит
х
+ 3) 2 +
(у
− 4) 2
=
25.
III. Подставим координаты точки С (-3; -1) в уравнение окружности:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С
(-3; -1) лежит
на окружности,
заданной уравнением (х
+ 3) 2 +
(у
− 4) 2
=
25.
Итог урока.
- Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
- (Слайд 21) Домашнее задание.
Тема урока: Уравнение окружности
Цели урока:
Образовательные: Вывести уравнение окружности, рассмотрев решение этой задачи как одну из возможностей применения метода координат.
Уметь:
– Распознать уравнение окружности по предложенному уравнению, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.
Воспитательные : Формирование критического мышления.
Развивающие : Развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
Уметь:
– Видеть проблему и наметить пути её решения.
– Кратко излагать свои мысли устно и письменно.
Тип урока: усвоения новых знаний.
Оборудование : ПК, мультимедийный проектор, экран.
План урока:
1. Вступительное слово – 3 мин.
2. Актуализация знаний – 2 мин.
3. Постановка проблемы и её решение –10 мин.
4. Фронтальное закрепление нового материала – 7 мин.
5. Самостоятельная работа в группах – 15 мин.
6. Презентация работы: обсуждение – 5 мин.
7. Итог урока. Домашнее задание – 3 мин.
Ход урока
Цель данного этапа: Психологический настрой учащихся; Вовлечение всех учащихся в учебный процесс, создание ситуации успеха.1. Организационный момент.
3 минуты
Ребята! С окружностью вы познакомились ещё в 5 и 8 классах. А что вы о ней знаете?
Знаете вы много, и эти данные можно использовать при решении геометрических задач. Но для решения задач, в которых применяется метод координат, этого недостаточно. Почему?
Абсолютно верно.
Поэтому главной целью сегодняшнего урока я ставлю выведение уравнения окружности по геометрическим свойствам данной линии и применение его для решения геометрических задач.
И пусть девизом урока станут слова среднеазиатского учёного-энциклопедиста Ал-Бируни: «Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».
Записывают тему урока в тетрадь.
Определение окружности.
Радиус.
Диаметр.
Хорда. И т.д.
Мы ещё не знаем общего вида уравнения окружности.
Учащиеся перечисляют все, что знают об окружности.
Слайд 2
Слайд 3
Цель этапа – получить представление о качестве усвоения учащимися материала, определить опорные знания.
2. Актуализация знаний.
2 минуты
При выведении уравнения окружности вам потребуются уже известное определение окружности и формула, позволяющая найти расстояние между двумя точками по их координатам. Давайте вспомним эти факты /п овторение материала, изученного ранее/:
– Запишите формулу нахождения координат середины отрезка.
– Запишите формулу вычисления длины вектора.
– Запишите формулу нахождения расстояния между точками (длины отрезка).
Корректирование записей…
Геометрическая разминка.
Даны точки А (-1;7) и В (7; 1).
Вычислите координаты середины отрезка АВ и его длину.
Проверяет правильность выполнения, корректирует расчеты…
Один ученик у доски, а остальные в тетрадях записывают формулы
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
|АВ|=√(х –х)²+(у –у)²
М(х;у), А(х;у)
Вычисляют: С (3; 4)
| АВ| = 10
С лайд 4
Слайд 5
3. Формирование новых знаний.
12 минут
Цель: формирование понятия - уравнение окружности.
Решите задачу:
В прямоугольной системе координат построена окружность с центром А(х;у). М(х; у) - произвольная точка окружности . Найдите радиус окружности.
Будут ли координаты любой другой точки удовлетворять данному равенству? Почему?
Возведём обе части равенства в квадрат. В результате имеем:
r² =(х –х)²+(у –у)²-уравнение окружности, где (х;у)-координаты центра окружности, (х;у)-координаты произвольной точки лежащей на окружности, r-радиус окружности.
Решите задачу:
Какой вид будет иметь уравнение окружности с центром в начале координат?
Итак, что надо знать для составления уравнения окружности?
Предложите алгоритм составления уравнения окружности.
Вывод: … записать в тетрадь.
Радиусом называется отрезок, соединяющий центр окружности с произвольной точкой лежащей на окружности. Поэтому r=|АМ|=√(х –х)²+(у –у)²
Любая точка окружности лежит на этой окружности.
Учащиеся ведут записи в тетради.
(0;0)-координаты центра окружности.
х²+у²=r², где r-радиус окружности.
Координаты центра окружности, радиус, любую точку окружности…
Предлагают алгоритм…
Записывают алгоритм в тетрадь.
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Учитель фиксирует равенство на доске.
Слайд 9
4. Первичное закрепление.
23 минуты
Цель: воспроизведение учащимися только что воспринятого материала для предупреждения утраты образовавшихся представлений и понятий . Закрепление новых знаний, представлений, понятий на основе их применения.
Контроль ЗУН
Применим полученные знания при решении следующих задач.
Задача: Из предложенных уравнений назовите номера тех, которые являются уравнениями окружности. И если уравнение является уравнением окружности, то назовите координаты центра и укажите радиус.
Не каждое уравнение второй степени с двумя переменными задаёт окружность.
4х²+у²=4- уравнение эллипса.
х²+у²=0- точка.
х²+у²=-4- это уравнение не задаёт никакой фигуры.
Ребята! А что нужно знать, чтобы составить уравнение окружности?
Решите задачу №966 стр.245(учебник).
Учитель вызывает ученика к доске.
Достаточно ли данных, которые указаны в условии задачи, чтобы составить уравнение окружности?
Задача:
Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и диаметром 8.
Задача : построение окружности.
Центр имеет координаты?
Определите радиус… и выполняйте построение
Задача на стр.243 (учебник) разбирается устно.
Используя план решения задачи со стр.243, решите задачу:
Составьте уравнение окружности с центром в точке А(3;2), если окружность проходит через точку В(7;5).
1) (х-5)²+(у-3)²=36- уравнение окружности;(5;3),r=6.
2) (х-1)²+у²=49- уравнение окружности;(1;0),r=7.
3) х²+у²=7- уравнение окружности;(0;0),r=√7.
4) (х+3)²+(у-8)²=2- уравнение окружности; (-3;8),r=√2.
5) 4х²+у²=4-не является уравнением окружности.
6) х²+у²=0- не является уравнением окружности.
7) х²+у²=-4- не является уравнением окружности.
Знать координаты центра окружности.
Длину радиуса.
Подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности общего вида.
Решают задачу № 966 стр.245(учебник).
Данных достаточно.
Решают задачу.
Так как диаметр окружности в два раза больше её радиуса, то r=8÷2=4. Поэтому х²+у²=16.
Выполняют построение окружностей
Работа по учебнику. Задача на стр.243.
Дано: А(3;2)-центр окружности; В(7;5)є(А;r)
Найти: уравнение окружности
Решение: r² =(х –х)²+(у –у)²
r² =(х –3)²+(у –2)²
r = АВ, r² = АВ²
r² =(7-3)²+(5-2)²
r² =25
(х –3)²+(у –2)²=25
Ответ: (х –3)²+(у –2)²=25
Слайду 10-13
Решение типовых задач, проговаривая способ решения в громкой речи.
Учитель вызывает одного ученика записать полученное уравнение.
Возврат к слайду 9
Обсуждение плана решения данной задачи.
Слайд. 15. Учитель вызывает одного ученика к доске решать данную задачу.
Слайд 16.
Слайд 17.
5. Итог урока.
5 минут
Рефлексия деятельности на уроке.
Домашнее задание: §3, п.91, контрольные вопросы №16,17.
Задачи № 959(б, г, д), 967.
Задача на дополнительную оценку (проблемная задача): Построить окружность, заданную уравнением
х²+2х+у²-4у=4.
О чём на уроке мы говорили?
Что хотели получить?
Какая цель была поставлена на уроке?
Какие задачи позволяет решить сделанное нами «открытие»?
Кто из вас считает, что достиг цели, поставленной на уроке учителем на100%, на 50%; не достиг цели…?
Выставление оценок.
Записывают домашнее задание.
Учащиеся отвечают на поставленные учителем вопросы. Проводят самоанализ собственной деятельности.
Учащимся необходимо выразить в слове результат и способы достижения.