Напряжения при поперечном изгибе. Нормальные напряжения при изгибе Какие напряжения возникают в поперечном сечениях балки
В строительной практике изгиб является пожалуй самым распространенным видом деформаций, который в большей степени характерен для балочных конструкций. Если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент, считается, что она испытывает чистый изгиб . Однако, в большинстве случаев наряду с изгибающим моментом в балках возникает еще поперечная сила (Q) , и такой изгиб, соответственно, называется поперечным .
Деформацию изгиба вызывают силы, направленные перпендикулярно к продольной оси балки, или лежащие в проходящих через эту ось плоскостях. Сама ось при воздействии этих сил из прямолинейной превращается в криволинейную (см. Рис.1).
Рис. 1.
Если все действующие на балку нагрузки приложены в одной плоскости, называемой силовой , то изгиб является плоским , а если линия пересечения этой плоскости с плоскостью поперечного сечения (силовой линией) совпадает с одной из главных центральных осей, то изгиб принято называть прямым (см. Рис.2).
Рис. 2.
Нормальные напряжения при изгибе
Итак, при прямом и поперечном изгибе в сечениях балки возникают два силовых фактора (внутренних усилия): изгибающий момент M и поперечная сила Q . Расчетная практика показывает, что изгибающий момент в большинстве случаев имеет решающее значение при подборе сечения и проверке прочности балочных конструкций.
Под действием нагрузки балка прогибается так, что ее нижние волокна удлиняются, а верхние укорачиваются, т.е. изгиб сопровождается появлением нормальных напряжений. При постепенном переходе от удлиняющихся волокон к укорачивающимся (или наоборот) встречается промежуточный слой волокон, который не меняет своей длины. Этот слой называется нейтральным , а линия его пересечения с плоскостью поперечного сечения балки – нейтральной линией или осью. Таким образом, нейтральная линия является геометрическим местом концентрации точек, в которых нормальные напряжения равны нулю.
Для выяснения характера распределения и значения напряжений, вызываемых изгибающим моментом, обратимся к случаю чистого изгиба, характерный пример которого приведен ниже на Рис.3(а).
Рис. 3.
На выше представленной схеме (Рис.3, а) двумя бесконечно близкими сечениями выделен участок балки длиной dz и изображен в укрупненном масштабе (Рис.3, б). Будучи параллельными друг другу до деформации оба сечения взаимно повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол dθ после приложения нагрузки. Длина отрезка нейтрального слоя при этом не изменится.
Любое волокно, лежащее выше или ниже нейтрального слоя, изменит свою длину. Так, относительное удлинение волокон, расположенных на расстоянии «y» от нейтрального слоя, составляет:
где ρ – радиус кривизны изогнутой оси балки.
Эта зависимость выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон пропорциональны их расстоянию от нейтрального слоя
. Осталось перейти от деформаций к напряжениям, т.е. рассмотреть физическую сторону задачи. Подставляем зависимость (1) в выражение закона Гука при осевом растяжении (сжатии) и получаем:
т.е. нормальные напряжения изменяются по высоте сечения линейно.
После некоторых преобразований выражение (2) превращается в следующую формулу:
которая позволяет вычислять нормальные напряжения при чистом изгибе балки в любой точке ее поперечного сечения. Изгибающий момент «Mx
» и координату «y
» удобнее всего брать по абсолютному значению, а знак напряжения устанавливать исходя из характера деформирования балки (при растяжении – плюс, при сжатии – минус), т.е. по эпюре «М», ординаты которой откладывают со стороны растянутых волокон. Нетрудно догадаться, что максимальные значения напряжений возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.
При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения. Последние усложняю картину деформирования, приводя к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако тщательные исследования показывают, что искажения, вносимые касательными напряжениями, незначительно влияют на нормальные напряжения. Таким образом, при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба вполне применима теория чистого изгиба. Касательные напряжения в расчетах на прочность как правило не учитываются.
В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (гдеh - высота поперечного сечения, l - длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений s применяют ту же формулу (5.10).
Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной d z (рис. 5.21, а ).
Рис. 5.21
Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 5.21, в ) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b . При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 5.21, б ). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади b ×d z распределены равномерно, используя условие åz = 0, получим:
N * - N * - d N * + t× b ×d z = 0 ,
где N * - равнодействующая нормальных сил s×dF в левом поперечном сечении элемента d z в пределах заштрихованной площади F * (рис. 5.20, г ):
С учетом (5.10) последнее выражение можно представить в виде
, (5.14)
где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 5.21,б эта область заштрихована). Следовательно, (5.14) можно переписать в виде
. (5.15)
В результате совместного рассмотрения (5.12) и (5.15) получим
,
или окончательно
Полученная формула (5.16) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.
Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 5.21, г ), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - d z , т.е. по оси z ; по вертикальной оси - dy , т.е. по оси у ; по оси х - равный ширине балки.
Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определяются по формуле (5.10), а касательные напряжения t - по формуле Д.И. Журавского (5.16). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны t. Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.
Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через s a и t a , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dF , для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dF sin a и dF cos a, соответственно.
Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 5.21, г ), получим:
откуда будем иметь:
Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:
Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a 0 , при котором напряжение s a принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции s a от a и приравняем ее нулю:
.
Предполагая a = a 0 , получим:
Откуда окончательно будем иметь:
.
Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными , а сами напряжения - главными напряжениями .
Сопоставляя выражения t a и , имеем:
откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.
В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:
и формулы ,
определим главные напряжения, выражая из через s и t:
.
Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.
Мы видели, что при чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Соответствующие им внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения (рис. 4.23). Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением угловых деформаций . Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изпб а поперечные сечешя не остаются плоскими. На рис. 4.24 показана типичная картина искривления поперечных сечений.
Однако на значение нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила не меняется по длине стержня, формулы (4.6) и (4.8), выведенные для случая чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба. Действительно, при искривление всех сечений происходит одинаково (рис. 4.25). Поэтому при взаимном повороте двух смежных сечений удлинение продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимо от того, осталось сечение плоским или нет
При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для а некоторую погрешность. Путем несложного анализа можно показать, что эта погрешность имеет порядок по сравнению с единицей, где - размер поперечного сечения в плоскости изгиба; - длина стержня. По определению, данному в § В2, характерной особенностью стержня является то, что размеры его поперечного сечения много меньше длины. Следовательно, отношение относительно мало и соответственно малой оказывается указанная погрешность.
Все сказанное дает основание принять гипотезу плоских сечений. Будем в дальнейшем считать, что совокупность точек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба, образует и после изгиба плоскость, повернутую в пространстве. Это предположение приемлемо в той мере, в какой угловые деформации 7 в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны.
Особенностью поперечного изгиба является также наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т.е. напряжений между слоями. Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе и весьма малы.
Таким образом, в пределах указанных допущений формулы (4.6) и (4.8), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгибе, но и при поперечном. В такой же мере применима и формула (4.5), дающая зависимость кривизны стержня от изгибающего момента.
Теперь определим приближенно касательные напряжения при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруса элемент длиной (рис. 4.26, а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 4.26, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил в левом сечении в пределах заштрихованной площади равна, очевидно,
или, согласно формуле (4.6),
где через обозначена в отличие от у текущая ордината площадки (см. рис. 4.26, б). Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня Обозначим этот статический момент через Тогда
В правом сечении нормальная сила будет другой:
Разность этих сил
должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (см. рис. 4.26, б и в).
В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения равномерно. Тогда
Полученная формула носит название формулы Журавского, по имени русского ученого прошлого века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе.
Выражение (4.12) позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Напряжения, образующиеся в поперечных сечениях стержня равны им, как парные. Зависимость от у в сечении определяется через статический момент 5. При подходе к верхней кромке сечения площадь его заштрихованной части (см. рис. 4.26, б) уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, При подходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает все сечение. Так как ось центральная, то и здесь Поэтому касательные напряжения, как это следует из формулы (4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю.
Для стержня прямоугольного сечения со сторонами и (рис. 4.27, а) имеем
Следовательно,
и эпюра касательных напряжений по высоте сечения изображается квадратной параболой. Наибольшее напряжение имеет место при
Для стержня круглого сечения (рис. 4.27, б) путем несложной операции интегрирования можно найти
Кроме того,
Для стержня, имеющего сечение в форме треугольника с основанием с и высотой (рис. 4.27, в),
Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтральной оси:
В двух последних примерах наглядно проявляется приближенный характер производимых операций. Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляющие не только по оси у, но и по оси х. Действительно, примем, как это делали выше, что для точек А, расположенных у контура сечения (рис. 4.28), касательное напряжение направлено по оси у. Разложим вектор на две составляющие - по нормали к контуру и по касательной По условиям нагружения внешняя поверхность стержня свободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парные отсутствуют. Следовательно, а полное касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру, и предположение о том, что направлено по оси у, оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличие составляющих по оси х. Для определения этих составляющих следует прибегнуть к более сложным приемам, нежели
рассмотренные ранее. Методами теории упругости можно показать, что в большинстве случаев составляющие по оси х играют существенно меньшую роль, нежели по оси у.
Из рассмотренных выше примеров можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизительно в средней части высоты сечения, а для нетонкостенных сечений имеет значение порядка
Можно сопоставить абсолютные величины максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 4.29) имеем
Это значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине стержня, т.е. касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех нетонкостенных стержней. Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос особый.
В связи с малостью ттах расчет на прочность при поперечном изгибе выполняют только по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимают. Это тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в наиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю.
Рассматривая качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности стержня. Например при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е. там, где касательные напряжения максимальны (рис. 4.30).
Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями стержня при поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба стержня меняется. Например, в стержне, составленном из листов (рис. 4.31, а), каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно. Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно
При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту , а поперечная сила оказывается равной нулю . Этот случай изгиба носит название чистого изгиба . Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.
В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.
Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков , в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.
Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза ) . Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.
Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил , возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде: (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х
Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения.
Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.
Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации , а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:, где -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину . Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине,тогда:
Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.
Теперь перейдем к напряжениям , т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2) имеем (3), т.е. нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь как постоянную величину, тогда имеем. Но выражение - это осевой момент инерции сечения относительно оси х - I х . Его размерность см 4 , м 4
Тогда ,откуда (4) ,где - это кривизна изогнутой оси балки, а - жесткость сечения балки при изгибе.
Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения: (5)
Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение (6) называют осевым моментом сопротивления сечения . Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.
Тогда максимальные напряжения: (7)
Условие прочности при изгибе: (8)
При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения ,т.к. имеется поперечная сила . Касательные напряжения усложняют картину деформирования , они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений . Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5) . Таким образом,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.
Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии.
При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х , и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.