Rješenje kroz diskriminantnu formulu. Kako riješiti kvadratne jednadžbe. Vađenje kvadratnog korijena
Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.
Uz pomoć diskriminante rješavaju se samo potpune kvadratne jednadžbe, a za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koriste se druge metode koje ćete pronaći u članku "Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi".
Koje se kvadratne jednadžbe nazivaju potpunima? to jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, gdje koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da biste riješili kompletnu kvadratnu jednadžbu, morate izračunati diskriminantu D.
D \u003d b 2 - 4ac.
Ovisno o tome koju vrijednost ima diskriminanta, zapisat ćemo odgovor.
Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.
Ako je diskriminant nula, tada je x \u003d (-b) / 2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),
tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.
Na primjer. riješiti jednadžbu x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odgovor: 2.
Riješite jednadžbu 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Odgovor: nema korijena.
Riješite jednadžbu 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Odgovor: - 3,5; jedan.
Dakle, zamislimo rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi prema shemi na slici 1.
Ove se formule mogu koristiti za rješavanje bilo koje potpune kvadratne jednadžbe. Samo trebaš paziti da jednadžba je napisana kao polinom standardnog oblika
a x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, kada pišete jednadžbu x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno zaključiti da
a = 1, b = 3 i c = 2. Tada je
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 i tada jednadžba ima dva korijena. A ovo nije istina. (Pogledajte rješenje primjera 2 gore).
Dakle, ako jednadžba nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednadžba mora napisati kao polinom standardnog oblika (na prvom mjestu treba biti monom s najvećim eksponentom, tj. a x 2 , zatim s manje – bx, a zatim slobodan termin S.
Kod rješavanja gornje kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom za drugi član mogu se koristiti i druge formule. Upoznajmo se s ovim formulama. Ako je u punoj kvadratnoj jednadžbi s drugim članom koeficijent paran (b = 2k), tada se jednadžba može riješiti pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 2.
Potpuna kvadratna jednadžba naziva se reduciranom ako je koeficijent pri x 2 jednako je jedinici i jednadžba poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva se jednadžba može dati riješiti ili se dobije dijeljenjem svih koeficijenata jednadžbe s koeficijentom a stojeći na x 2 .
Slika 3 prikazuje dijagram rješenja reduciranog kvadrata
jednadžbe. Razmotrite primjer primjene formula razmatranih u ovom članku.
Primjer. riješiti jednadžbu
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Riješimo ovu jednadžbu pomoću formula prikazanih na slici 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
Odgovor: -1 - √3; –1 + √3
Možete vidjeti da je koeficijent pri x u ovoj jednadžbi paran broj, to jest, b = 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednadžbu pomoću formula prikazanih na dijagramu slike D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Odgovor: -1 - √3; –1 + √3. Primjećujući da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi s 3 i dijeljenjem dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu x 2 + 2x - 2 = 0 Ovu jednadžbu rješavamo pomoću formula za reduciranu kvadratnu jednadžbu
jednadžbe slika 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Odgovor: -1 - √3; –1 + √3.
Kao što vidite, prilikom rješavanja ove jednadžbe pomoću različitih formula dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste dobro savladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu.
blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.
Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Sposobnost njihovog rješavanja je neophodna.
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a , b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.
Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:
- Nemaju korijenje;
- Imaju točno jedan korijen;
- Imaju dva različita korijena.
Ovo je važna razlika između kvadratnih i linearnih jednadžbi, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko jednadžba ima korijena? Postoji divna stvar za ovo - diskriminirajući.
Diskriminirajući
Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac .
Ova se formula mora znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: prema znaku diskriminante možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:
- Ako D< 0, корней нет;
- Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
- Ako je D > 0, bit će dva korijena.
Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne uopće njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi misle. Pogledajte primjere i sve će vam biti jasno:
Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Zapisujemo koeficijente za prvu jednadžbu i nalazimo diskriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Dakle, diskriminant je pozitivan, pa jednadžba ima dva različita korijena. Drugu jednadžbu analiziramo na isti način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminanta je negativna, nema korijena. Ostaje zadnja jednadžba:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.
Imajte na umu da su koeficijenti ispisani za svaku jednadžbu. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete miješati izglede i nemojte raditi glupe pogreške. Odaberite sami: brzina ili kvaliteta.
Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.
Korijeni kvadratne jednadžbe
Sada prijeđimo na rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:
Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe
Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako je D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:
Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Pronađimo ih
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \lijevo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]
Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:
Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju kada se u formulu zamijene negativni koeficijenti. I ovdje će vam pomoći gore opisana tehnika: doslovno promatrajte formulu, slikajte svaki korak - i vrlo brzo se riješite pogrešaka.
Nepotpune kvadratne jednadžbe
Događa se da je kvadratna jednadžba nešto drugačija od onoga što je navedeno u definiciji. Na primjer:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Lako je vidjeti da u ovim jednadžbama nedostaje jedan od članova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: za njih čak nije potrebno izračunati diskriminantu. Dakle, predstavimo novi koncept:
Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 zove se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.
Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b \u003d c \u003d 0. U ovom slučaju, jednadžba ima oblik ax 2 \u003d 0. Očito, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.
Razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c \u003d 0. Lagano je transformirajmo:
Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo kada je (−c / a ) ≥ 0. Zaključak:
- Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednadžbu (−c / a ) ≥ 0, bit će dva korijena. Formula je navedena gore;
- Ako (−c / a )< 0, корней нет.
Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno prisjećati se nejednakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što je s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, uopće neće biti korijena.
Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će biti dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:
Izbacivanje zajedničkog faktora iz zagradeUmnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednadžbi:
Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
Ova se tema u početku može činiti kompliciranom zbog brojnih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se i korijeni nalaze pomoću diskriminante. Ukupno su tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule same zapamtiti.
Opći pogled na kvadratnu jednadžbu
Ovdje se predlaže njihova eksplicitna notacija, kada je najveći stupanj napisan prvi, a zatim - u silaznom redoslijedu. Često postoje situacije kada se pojmovi razlikuju. Tada je bolje prepisati jednadžbu silaznim redoslijedom stupnja varijable.
Uvedimo notaciju. Oni su prikazani u tablici ispod.
Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe svode se na sljedeću oznaku.
Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Označimo ovu formulu brojem jedan.
Kada je jednadžba dana, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:
- otopina će imati dva korijena;
- odgovor će biti jedan broj;
- Jednadžba uopće nema korijena.
I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.
Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi
Zadaci mogu imati različite unose. Neće uvijek izgledati kao opća formula kvadratne jednadžbe. Ponekad će nedostajati neki pojmovi. Gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći izraz, dobit ćete nešto drugačije. Ovi zapisi se također nazivaju kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.
Štoviše, samo članovi za koje koeficijenti "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:
Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.
Diskriminanta i ovisnost broja korijena o njezinoj vrijednosti
Ovaj broj mora biti poznat da bi se izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminant, potrebno je koristiti dolje napisanu jednakost koja će imati broj četiri.
Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različitim predznacima. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. S negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednak nuli, odgovor će biti jedan.
Kako se rješava potpuna kvadratna jednadžba?
Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminantu. Nakon što je razjašnjeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, trebate koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, tada morate primijeniti takvu formulu.
Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.
Formula pet. Iz istog zapisa može se vidjeti da ako je diskriminant nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.
Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.
Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?
Ovdje je sve puno jednostavnije. Čak nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati oni koji su već napisani za diskriminant i nepoznato.
Prvo, razmotrite nepotpunu jednadžbu broj dva. U ovoj jednakosti treba nepoznatu vrijednost izvaditi iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobiva rješavanjem linearne jednadžbe.
Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prenošenjem broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim treba podijeliti s koeficijentom ispred nepoznate. Ostaje samo izvući kvadratni korijen i ne zaboravite ga dva puta zapisati sa suprotnim predznacima.
Slijede neke radnje koje vam pomažu da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Pomoći će učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme "Kvadratne jednadžbe (8. razred)". Nakon toga, ove se radnje neće morati stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.
- Najprije morate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo pojam s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i posljednji - samo broj.
- Ako se prije koeficijenta "a" pojavi minus, početniku može zakomplicirati posao proučavanja kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu sve jednakosti moraju se pomnožiti s "-1". To znači da će svi članovi promijeniti predznak u suprotan.
- Na isti način, preporuča se riješiti frakcija. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.
Primjeri
Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:
x 2 - 7x \u003d 0;
15 - 2x - x 2 \u003d 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.
Nakon stavljanja u zagrade, ispada: x (x - 7) \u003d 0.
Prvi korijen poprima vrijednost: x 1 \u003d 0. Drugi će se naći iz linearne jednadžbe: x - 7 \u003d 0. Lako je vidjeti da je x 2 \u003d 7.
Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se ona rješava kao što je opisano za treću formulu.
Nakon prijenosa 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i dolje, rješavanje kvadratnih jednadžbi započet će njihovim prepisivanjem u standardni oblik: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Sada je vrijeme da upotrijebimo drugu koristan savjet i sve pomnožite s minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, trebate izračunati diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivan broj. Iz gore rečenog ispada da jednadžba ima dva korijena. Potrebno ih je izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Zatim x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.
Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta jednaka je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."
Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminantu dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, naime: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.
Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da trebate donijeti slične članove, prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će takav izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon prebrojavanja sličnih članova, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično tome već je razmatrano malo više. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.
Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Jednadžbe čovjek koristi od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Diskriminant vam omogućuje rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe pomoću opća formula, koji ima sljedeći oblik:
Diskriminantna formula ovisi o stupnju polinoma. Gornja formula je prikladna za rješavanje kvadratnih jednadžbi sljedećeg oblika:
Diskriminant ima sljedeća svojstva moraš znati:
* "D" je 0 kada polinom ima više korijena (jednakih korijena);
* "D" je simetričan polinom s obzirom na korijene polinoma i stoga je polinom u svojim koeficijentima; štoviše, koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi, bez obzira na proširenje u kojem su korijeni uzeti.
Pretpostavimo da nam je data kvadratna jednadžba sljedećeg oblika:
1 jednadžba
Prema formuli imamo:
Budući da \, onda jednadžba ima 2 korijena. Definirajmo ih:
Gdje mogu riješiti jednadžbu putem diskriminantnog mrežnog rješavača?
Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https: // site. Besplatni online rješavač riješit će jednadžbu online bilo koji složenost u sekundama. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.